Espacio topológico
Un espacio topológico es una estructura matemática que permite la definición formal de conceptos como convergencia, conectividad, continuidad, vecindad, usando subconjuntos de un conjunto dado.1
La rama de las matemáticas que estudia los espacios topológicos se llama topología. Las variedades, al igual que los espacios métricos son especializaciones de espacios topológicos con restricciones y estructuras propias.
Definición
Formalmente, se llama espacio topológico al par ordenado (X,T) formado por un conjunto X y una topología T sobre X, es decir, una colección de subconjuntos de X que cumplen las tres propiedades siguientes:1. El conjunto vacío y X están en T.
{\displaystyle \quad \varnothing \in T,X\in T} {\displaystyle \quad \varnothing \in T,X\in T}
2. La intersección de cualquier subcolección finita de conjuntos de T está en T.
{\displaystyle \quad (O_{1}\in T,O_{2}\in T)\Rightarrow (O_{1}\cap O_{2}\in T)} {\displaystyle \quad (O_{1}\in T,O_{2}\in T)\Rightarrow (O_{1}\cap O_{2}\in T)}
3. La unión de cualquiera subcolección de conjuntos de T está en T.2
Esta condición también se escribe, formalmente:3
{\displaystyle \quad \forall S\subset T,\cup _{O\in S}O\in T} {\displaystyle \quad \forall S\subset T,\cup _{O\in S}O\in T}
A los conjuntos pertenecientes a la topología T se les llama conjuntos abiertos o simplemente abiertos de (X,T);4 y a sus complementos en E, conjuntos cerrados.
Ejemplos
Topología trivial o indiscreta: es la formada por {\displaystyle \varnothing } \varnothing y {\displaystyle X} X.
Topología discreta: es la formada por el conjunto de las partes de {\displaystyle X} X.
Topología de los complementos finitos: es la formada por {\displaystyle \varnothing } \varnothing y los conjuntos de {\displaystyle X} X, cuyos complementarios son finitos.
Topología de los complementos numerables: es la formada por {\displaystyle \varnothing } \varnothing y los conjuntos de {\displaystyle X} X, cuyos complementarios son numerables.
R, conjunto de los reales, y T el conjunto de los intervalos abiertos en el sentido usual, y de las reuniones (cualesquiera) de intervalos abiertos.En este caso un conjunto es abierto si para todo punto de él existe un intervalo abierto que contiene al punto y dicho intervalo abierto es parte del mencionado abierto.5
Recta de Sorgenfrey: la recta real junto con la topología del límite inferior.
La topología de Sierpinski es la colección T = {∅, {0}, X} sobre X = {0,1} y el par (X,T) se llama espacio de Sierpinski.6
Una topología T sobre X, usando algunas partes de A, que es parte propia de X. El par (X,T ) es un espacio topológico cuyos abiertos son ciertas partes de A y el conjunto X. Para este caso X = {a,b,c,d}; A ={a,b,c}; T = { ∅,{a}, {a,b}, {a,b,c}, X} es una topología sobre X.7
Espacios metrizables
Toda métrica permite definir de manera natural en un espacio la topología formada por las uniones arbitrarias de bolas de centro {\displaystyle r} r y radio {\displaystyle d} d:
{\displaystyle \quad B(r,d)} {\displaystyle \quad B(r,d)}
Esta topología se aproxima a la noción intuitiva de conjunto abierto, permitiendo una aproximación de carácter local a la topología.
En vez de considerar todo el conjunto, el punto de vista local consiste en preguntarse: ¿qué relación tiene que haber entre un punto a cualquiera de A, y A para que A sea un abierto?
Topología abierto 1.png
Si se considera el ejemplo más conocido, el de los intervalos, uno se da cuenta de que los intervalos abiertos son los que no contienen puntos en su frontera o borde, que son puntos en contacto al la vez con A y con su complementario R - A.
En otras palabras, un punto de un abierto no está directamente en contacto con el "exterior".
No estar en contacto significa intuitivamente que hay una cierta distancia entre el punto y el exterior; llamémosla d. Entonces la bola B (a, d/2), de radio d/2 y de centro a está incluida en A y no toca el complementario. En la figura, a está en el interior de A, mientras que b está en su frontera, porque cualquier vecindad de b encuentra R - A.
Al hablar de distancia, utilizamos un concepto de los espacios métricos, que son más intuitivos pues corresponden al mundo real (asimilable a R³). En topología, tenemos que cambiar el concepto de bola por el, más general, de vecindad o entorno. Una vecindad de un punto x es este punto con algo de su alrededor. Tenemos entera libertad para definir el significado de "alrededor" y "vecindad" con tal de satisfacer los axiomas siguientes:
x pertenece a todas sus vecindades.
Un conjunto que contiene una vecindad de x es una vecindad de x.
La intersección de dos vecindades de x es también una vecindad de x.
En toda vecindad V de x existe otra vecindad U de x tal que V es una vecindad de todos los puntos de U.
Llamamos abierto un conjunto que es una vecindad para todos sus puntos.
Los axiomas expuestos en el punto de vista global están verificados:
E es obviamente una vecindad para todos sus puntos, y ∅ también porque no contiene punto. (Una propiedad universal: para todo x... es forzosamente cierta en el conjunto vacío.)
Una unión de abiertos Oi es un superconjunto de cada Oi, y Oi es una vecindad de todos sus puntos, por lo tanto, la unión es una vecindad de todos sus puntos, gracias a la propiedad (2).
Sea x un punto de la intersección de los abiertos O1 y O2. O1 y O2 son abiertos que contienen x y por lo tanto vecindades de él. Una intersección de vecindades de x es una vecindad de x (propiedad 3), lo que implica que O1 {\displaystyle \cap } \cap O2 es una vecindad de todos sus puntos, y por lo tanto un abierto.
Propiedades de un espacio topológico
Compacidad
Conectividad
Axiomas de separación
Véase también
Glosario de topología
Topología
Referencias
1. Kuratowski: "Introducción a la teoría de conjuntos y a la topología2
2. Munkres, James R. TopologíaPearson Prentice Hall, Madrid 2002 ISBN 978-84-205-3180-9
3. Para este caso y los axiomas anteriores, consultar en "Topología" de Munkres ISBN 978-84-205-3180-9
4. M. García Marrero y otros. Topología Alhambra ISBN 84-205-0557-9 (obra completa)
5. Mansfield: Introducción a la topología, ISBN 84-205-0450-5
6. Kelley: Topología general Eudeba, Buenos Aires
7. Los elementos de T satisfacen los axiomas de definición de una topología sobre un con junto no vacío
Bibliografía
Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0-13-181629-2.
Espacios Métricos y Topológicos [1]
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_topol%C3%B3gico
MAPA TOPOLÓGICO
Un mapa topológico se utiliza para transmitir información que no se centra necesariamente en la geografía precisa. El mapa se ha simplificado para proporcionar una visión general de un área para que la información en el mapa es más clara y fácil de leer. Los ejemplos más comunes de un mapa topológico incluyen un mapa del metro, un mapa que se incluye con instrucciones sobre cómo llegar a un negocio, o un mapa usado para representar las estadísticas, como el uso de Internet en Europa o la mortalidad infantil en el país. En todos estos ejemplos, la geografía precisa ocupa el segundo lugar a la información que el mapa está tratando de comunicar.
El mapa del metro de Londres es quizás uno de los ejemplos más famosos de un mapa topológico. El diseñador, Harry Beck, se dio cuenta de que los pilotos de los tubos no era necesario saber con precisión dónde estaban, pero tenía que ser capaz de ver el esbozo de las líneas de metro. Su mapa topológico resultante perspectiva distorsionada de modo que todas las líneas y paradas se podían ver claramente. El mapa estilizado es mucho más fácil de leer. Esta técnica se utiliza en los mapas de metro y mapas de rutas en todo el mundo, lo que hace la vida mucho más fácil para las personas que tratan de utilizar estos mapas.
Precisión geográfica y la escala no son tan importantes con un mapa topológico. Lo que es importante es sentar claramente la información vital. A menudo, esto incluye la purga un mapa geográfico hasta el detalle más importante y básica, por lo que la información topológica se puede colocar a lo largo de ella. Esta técnica se utiliza a menudo para producir mapas que se utilizan para transmitir información estadística sobre el mundo, de modo que la gente puede ver más o menos donde en el mundo de los datos está viniendo. Por ejemplo, una tabla de números tiene un impacto mucho menos profundo que un mapa que demuestra visualmente que la mayoría de la riqueza se concentra en el hemisferio norte.
En algunos casos, un mapa topológico puede ser muy distorsionada para enfatizar un punto o poner las estadísticas en su contexto. Por ejemplo, después de una elección, un mapa geográfico podría decirle a la gente que el estado de California votaron principalmente Democrática. Un mapa topológico mostraría que, de hecho, los votantes demócratas se concentran en determinadas regiones de alta población del estado, y que en términos de extensión geográfica, la mayor parte del estado es en realidad republicana.
A más sencillo ejemplo de un mapa topológico es un mapa incluido en el folleto para un negocio. La mayoría de las empresas no proporcionan mapas precisos trazar cada calle de la zona. En cambio, el mapa incluye importantes calles y cruces de calles de todo el negocio, por lo que los clientes pueden rápida y fácilmente encontrar. Este mapa simplificado es un mapa topológico diseñado para proporcionar una pieza de información: la mejor manera de llegar a la empresa en cuestión.
Mapa de Estratégias
Un mapa estratégico es una interpretación visual de las metas de la organización y los pasos necesarios para lograr estas metas. Estos mapas permiten a las empresas mejor las responsabilidades delegadas y planificar para los problemas a través de la comunicación visual. Burbujas, cajas y otras formas están unidos entre sí en el mapa por medio de flechas que representan el progreso. Se utiliza en una variedad de industrias, mapas estratégicos escaparate pensamientos, planes e intenciones. Hay muchas maneras de crear mapas, que van desde el uso de una computadora para simplemente dibujando a mano alzada.
El mapa de estrategia se concibió por primera vez en 1992 por Robert Kaplan y David Norton como el Balanced Scorecard. Durante la década siguiente, el equipo modificó la tarjeta de puntuación significativamente y surgió en 2001 con lo que se conoce ahora como un mapa de estrategia. La nueva herramienta de gestión está diseñado para ayudar a las organizaciones foco equilibrio y la alineación con los objetivos.
El mapa estratégico tradicional enumera todas las personas actuales, procesos y estrategias de una empresa en un extremo de una tabla y el objetivo final o resultado en el lado opuesto. Estas cartas son normalmente una sola página, pero pueden tardar hasta varias páginas y el flujo cada lado a lado o de arriba abajo. El creador tiene la libertad para designar el flujo direccional y los símbolos utilizados. Puede haber cualquier número de símbolos utilizados entre el inicio y el final del resultado, pero todos los pasos serán unidos por flechas, mostrando a los lectores cada paso en el proceso.
Desarrollo del concepto e ingeniería de procesos son elementos importantes en la construcción de un mapa de estrategia. La construcción de un mapa significa aprender cada empleo en el mapa y saber cómo cada uno progresa lógicamente y trabaja con los otros trabajos en el tablero. El resultado será una mezcla de líneas de tiempo, la estrategia corporativa y la descripción del trabajo. El resultado ideal será una hoja de referencia rápida para permanecer en su tarea durante un trabajo.
Mapas estrategia se puede utilizar en cualquier entorno pero tradicionalmente se utilizan para expresar cuatro principales objetivos de negocio. Las metas financieras son las más comunes, y el mapa se muestran los pasos necesarios para mejorar la capacidad financiera de una empresa.
Perspectiva del cliente es otro uso común, porque muestra lo que los clientes quieren y esperan de una empresa, así como la manera de cumplir esos objetivos. Proceso interno es otro uso clave porque el mapa mostrará cómo actualmente una empresa lleva a cabo una o varias tareas y detallará bien cómo esas tareas se puede hacer de manera más eficiente o un cambio en la estructura. El aprendizaje es también un uso común de los mapas, ya que muestra una habilidad que debe ser alcanzado y los pasos necesarios para comprender plenamente.
Hay una variedad de maneras de crear un mapa de estrategia. Hay varios programas informáticos que permiten a los usuarios dibujar mapas de una variedad de plantillas y hacer cambios rápidos. Un mapa de estrategia también se puede dibujar a mano sobre un retroproyector o en una hoja de papel. No importa cómo se crea la tabla, sus lectores simplicidad y ayudar a la comunicación visual a entender mejor los objetivos.
https://journals.openedition.org/terrabrasilis/2029?lang=en
Esta información es fundamental para entrar a las redes básicas de Inteligencia artificial del futuro
https://journals.openedition.org/terrabrasilis/2029?lang=en
